Традиционно фрактал определяют как множество точек, при этом не каждое множество можно назвать фракталом. Для любого из точечных множеств существует некое число, служащее для характеристики массивности данного множества, - размерность множества. Если случай простой, то размерность множества в нем совпадает с числом координат, которые нужны, чтобы задать точки данного множества. Простые множества обладают целой размерностью. Например, у отрезка размерность один, у круга и квадрата размерность два, у куба – размерность три. Но ряд множеств обладают дробной размерностью. Они то и носят название фракталов, которое произошло от fraction (дробь).

Фракталы не существуют в природе, но есть объекты, для которых характерна нерегулярность поведения и которые успешно моделируются посредством фракталов. Для распознавания фрактала, к примеру, на плоскости, точки множества покрываются квадратами маленьких размеров, затем они пересчитываются, и определяется изменение количества квадратов при уменьшении их размеров в два раза. При увеличении количества квадратов, к примеру, в 2,5 раза можно говорить, что на плоскости находится фрактал. Если изобразить график, показывающий изменения котировок той или иной акции, при условии маленьких интервалов времени между предыдущим баром и последующим, то фракталы в ряде практических случаев могут стать неплохими моделями для подобного графика. Фрактал, как и любая модель, служит приблизительному описанию динамики котировок выбранной акции. Для удовлетворительной точности приближения необходимо, чтобы график имел много баров и отличался крайне нерегулярным поведением, в зависимости от практических условий поставленной задачи.

М. Чекулаев определил фрактал как совокупность 5 баров, которые расположены «уголком» вниз и вверх. Это определение очень сильно отличается от традиционного. Пять трудно посчитать за «много», да и «нерегулярность поведения» котировок здесь оценить сложно. Таким образом, существуют два разных определения фрактала: первое и общепринятое, данное впервые Б. Мандельбротом, и произвольное, которое дал М. Чекулаев. Фракталы по определению М. Чекулаева в этой статье рассматриваться не будут. Больший интерес представляют свойства фракталов Б. Мандельброта.

Интерес к фракталам обусловлен их применением в анализе рынков. Методы технического анализа на практике всегда оказываются работоспособными, не смотря на бесконечное разнообразие жизни, где ежедневно происходит смена персонажей, появляются новые производственные отрасли, новые товары и т.п. А вот конфигурации на графиках остаются теми же самыми.

Специалист по техническому анализу работает с небольшим отрезком времени на графике котировок. Если считать рынок предоставленным самому себе, то можно предположить, что на изменение рыночных параметров существенно влияют только текущие значения параметров и в меньшей мере – недалекие прошлые их значения. При выполнении предположений рыночную динамику можно описать при помощи системы дифференциальных уравнений. При рассмотрении этой системы на небольших временных отрезках можно обнаружить небольшое разнообразием применяемых уравнений и сделать вывод, что в подавляющем большинстве случаев решение этой системы будет походить на какую-либо из «типичных фигур». Набор таких фигур находится в зависимости от количества объективных параметров, которые характеризуют состояние рынка (в первую очередь котировки). Помимо этого, влияние на ценовое движение могут оказывать и скрытые параметры, такие как «превалирующие предпочтения», которые описывал Дж. Сорос в своей книге «Алхимия финансов».

Учитывая последнее, пока нет возможности построения количественных рыночных моделей, являющихся удовлетворительными. Но это не значит, что нет качественных способов, позволяющих описывать рынок. Решение дифференциальных уравнений является гладкой функцией, следовательно, и динамика, описываемая с их помощью, должна являться гладкой. Если же посмотреть довольно подробный график, демонстрирующий изменение котировок той или иной акции, можно заметить его сильную изломанность. Получается, что описанная модель и действительность никак друг к другу не относятся? Так считать будет неправильно. Для объяснения можно использовать аналогию, например, с измерением длины береговой линии. Для измерения выбирается масштаб, характерный для этого случая, - ширина фарватера, «срезаются» маленькие изгибы и кривая заменяется прямым отрезком. Аналогично нужно поступать и с графиком котировок. Что касается характерного для биржи масштаба, то каждый инвестор применяет свой. Однако и здесь существуют объективные ограничения.

В первую очередь это регулярность, с которой получается информация конкретным рыночным оператором. Сегодня большая часть профессионалов обладают возможностью получения данных в режиме реального времени. Масштаб интервалов времени между выдаваемым порциями новых данных невелик. Более существенное влияние оказывает так называемое финансовое трение. Нередко за совершение торговых операций приходится платить комиссию. К тому же, на каждом рынке существует разница, образующаяся между котировками продажи и покупки. Следовательно, чтобы операция купли-продажи была прибыльной, необходимо, чтобы рост рыночных котировок намного превосходил все расходы на проведение сделки. Колебаниями мелкого масштаба не только можно, но и нужно пренебрегать. Получается, что если выбранный характерный масштаб не будет очень мал, велика вероятность того, что гладкая модель будет работать удовлетворительно. Если сглаживание подобного рода приносит существенные потери прибыли, можно попробовать применить в качестве альтернативы фрактальную модель.

В качестве примера такой модели можно привести следующий. Предположим, что фундаментальные факторы, которые определяют состояние рынка, долгое время не меняются совсем или их изменения малы и происходят медленно. В этом случае динамика котировок будет зависеть от нерегулярного влияния малозначимых факторов. Здесь возможно выдвижение гипотезы, что данные обстоятельства являются случайными. Самая простая модель движения котировок, наблюдаемого в этих обстоятельствах, будет напоминать одномерное, так называемое броуновское движение. Предположим, что изменение рыночной котировки за некоторый временной период – это случайная величина, обладающая нормальным законом распределения. При этом математическое выражение данного изменения здесь нулевое, т.е. вероятность увеличения равна вероятности уменьшения. Разброс параметра, иначе дисперсия, здесь пропорциональна квадратному корню значения длины наблюдаемого интервала времени. Движение котировки в будущем определяется значениями параметра на текущий момент и не имеет зависимости от предыстории. Данное свойство характерно обычно для физических процессов. Есть предположение, что для динамики котировок это свойство выполняется не так хорошо, в том числе и по той причине, что трейдеры, принимая решения, учитывают предысторию. Для учета данного обстоятельства можно попробовать применить фрактальную модель броуновского движения.

Фрактальное броуновское движение определяется так же, как и традиционное броуновское движение, но с одним отличием. Здесь дисперсия котировочного изменения за период времени t является пропорциональной не квадратному корню от значения времени, то есть t 0.5. Она пропорциональна здесь t H. H – это одно из чисел от 0 до 1. Когда Н имеет значение, отличное от ½, приращения котировки, происходящие за 2 соседних временных интервала, уже коррелированны, при этом, когда Н> ½, корреляция имеет положительное значение, а когда Н< ½, корреляция имеет отрицательное значение. Следовательно, при известном значении Н можно спрогнозировать изменение котировки в будущем, основываясь на изменениях в прошлом. При этом прогноз будет иметь тем большую достоверность, чем больше отличие Н от ½. Остается только найти Н. Н имеет связь с фрактальной размерностью d графика изменения котировки, и эта связь выражается формулой d=2-H. Размерность d графика определяется путем покрывания его квадратами.

Нельзя утверждать, что данная модель гарантирует получение прибыли, поэтому не стоит рассчитывать на то, что после подобного программирования успех будет обеспечен. В основе этой модели лежит несколько гипотез, в том числе и сформулированные в данной статье. Для начала эти гипотезы необходимо проверить на выполнение в конкретном случае.

Долговременные рыночные тенденции находятся в зависимости от факторов, которые лежат за пределами рынка финансов. Эти факторы имеют более значимый масштаб, поэтому должны учитываться прежде всего. Это уже относится к сфере фундаментального анализа. Процессы, происходящие более быстро, появляются в момент, когда сменяются долговременные тенденции. Их вероятнее всего можно описать гладкими моделями, такими как классические модели теханализа. Когда же есть желание учесть при анализе очень тонкие нюансы, тогда и нужно применять фрактальные модели. Но здесь нужно иметь в виду существенную нелинейность данных моделей, поэтому для их правильной идентификации нужно при анализе учитывать очень большие объемы данных.