После первых нескольких чисел в последовательности, отношение любого числа к следующему старшему равна примерно 0.618 к 1, а к соседнему младшему — приблизительно 1.618 к 1. Чем дальше вдоль последовательности, тем ближе отношение приближается к фи, которое является иррациональным числом 0.618034.. Соотношение между числами, расположенными через одно в последовательности, приблизительно равно 0.382, что является инверсией от 2.618 (1:2.618*). Обратитесь к таблице соотношений всех чисел Фибоначчи от 1 до 144 (рис. 3-2).



Рисунок 3-2

Фи является единственным числом, которое после сложения с 1 дает свою же инверсию: 0.618+1=1:0.618. Такой альянс аддитивных и мультипликативных свойств порождает следующую последовательность равенств:

0.6182 = 1 — 0.618,
0.6183 = 0.618 — 0.6182,
0.6184 = 0.6182 — 0.6183,
0.6185 = 0.6183 — 0.6184, и т. д.

или, альтернативно:

1.6182 = 1 + 1.618,
1.6183 = 1.618 + 1.6182,
1.6184 = 1.6182 + 1.6183,
1.6185 = 1.6183 + 1.6184, и т. д.

Некоторые формулировки из взаимосвязанных свойств этих четырех соотношений могут быть представлены следующим образом:

1) 1.618 — 0.618 = 1,
2) 1.618 × 0.618 = 1,
3) 1 — 0.618 = 0.382,
4) 0.618 × 0.618 = 0.382,
5) 2.618 — 1.618 = 1,
6) 2.618 × 0.382 = 1,
7) 2.618 × 0.618 = 1.618,
1.618 × 1.618 = 2.618.

Кроме 1 и 2, любое число Фибоначчи, умноженное на 4 и добавленное к некоторому выбранному числу Фибоначчи, дает еще одно число Фибоначчи:

3 × 4 = 12; + 1 = 13,
5 × 4 = 20; + 1 = 21,
8 × 4 = 32; + 2 = 34,
13 × 4 = 52; + 3 = 55,
21 × 4 = 84; + 5 = 89, и т. д.

Так как развивается новая последовательность, третья последовательность начинается с тех же чисел, которые добавлялись к произведению на 4. Это соотношение возможно, потому что коэффициент между числами Фибоначчи, отстоящими друг от друга через две позиции равен 4.236, где 0.236 является и инверсией этого коэффициента, и разностью с числом 4. Это непрерывное рядообразующее свойство отражается и в других соотношениях по этим же причинам.

1.618 (или 0.618) известно как Золотая пропорция или Золотое сечение. Его гармония приятна для глаз и является важным явлением в музыке, искусстве, архитектуре и биологии. Вильям Хоффер, написал для декабрьского номера 1975 года журнала Smithsonian Magazine:

«.. пропорция 0.618034 к 1 является математической основой для формы игральных карт и Пантеона, подсолнухов и раковин улиток, греческих ваз и спиральных галактик открытого космоса. Греки многое сделали в своем искусстве и архитектуре по этой пропорции. Они называли это «золотым сечением».